Función cuasiperiódica

En matemáticas, una función se dice cuasiperiódica cuándo tiene alguna semejanza a una función periódica pero no coincide con la definición estricta. Para ser más preciso, esto significa una función ${\displaystyle f}$ es cuasiperiódica con cuasiperiodo ${\displaystyle \omega }$ si ${\displaystyle f(z \omega )=g(z,f(z))}$, dónde g es una función más simple que f. Nótese qué "simple" es impreciso y permite diferentes definiciones.

Un caso sencillo (a veces llamada aritmética-cuasiperiódica) es si la función obedece la ecuación:

${\displaystyle f(z \omega )=f(z) C}$

Otro caso (a veces llamado geométrico-cuasiperiódico) es si la función obedece la ecuación:

${\displaystyle f(z \omega )=Cf(z)}$

Un ejemplo útil es la función :

${\displaystyle f(z)=\sin(Az) \sin(Bz)}$

Si la proporción A/B es racional, esto tendrá un periodo, pero si A/B es irracional no hay dicho periodo, aunque sí una sucesión de números ${\displaystyle \omega _{i}}$ llamados "casi" (almost) periodos, tales que para cualquier ${\displaystyle \epsilon }$, existe un i tal que.

${\displaystyle |f(z \omega _{i})-f(z)|<\epsilon }$

Otro ejemplo de función con casi periodos es la función theta de Jacobi, dónde

${\displaystyle \vartheta (z \tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),}$

muestra que para τ fijo, el cuasiperiodo es τ; también es periódico con periodo uno. Otro ejemplo está proporcionado por la función sigma de Weierstrass, la cual es cuasiperiódico, con dos cuasiperiodos independientes, los periodos correspondientes a las funciones sigma de Weierstrass.

Funciones con una ecuación funcional aditiva

${\displaystyle f(z \omega )=f(z) az b\ }$

son también llamadas cuasiperiódicas. Un ejemplo de esto es la función zeta de Weierstrass, dónde

${\displaystyle \zeta (z \omega )=\zeta (z) \eta \ }$

Para una constante fija η cuándo ω es un periodo de la correspondiente función ℘ de Weierstrass.

Véase también

• Movimiento cuasiperiódico
• Función casi periódica